Chapitre 4 - Magnétisme

Introduction

En électrostatique on a :

des charges sources qui produisent un champ
des charges cibles qui subissent une force exercée par ce champ

En magnétisme, le modèle est semblable, mais :

les sources et les cibles sont des charges en mouvement
un champ magnétique est donc produit par des objets chargés en mouvement, par des courants en circulation ou, dans le cas d'aimant, par l'équivalent à l'échelle atomique.

Aimants

Un aimant est toujours constitué de deux pôles. Deux pôles de deux aimants différents s'attirent s'il sont de nature différente et se repoussent s'il sont de même nature.

Champ magnétique

L'attraction ou la répulsion entre deux aimants est dû à une force dite force magnétique. Cette force agit à distance. Pour décrire cette action à distance, on recourt à la notion de champ magnétique.

$\vec{B}$ est partout tangent aux lignes de champ magnétique.

Convention : une ligne de champ magnétique va du pôle nord au pôle sud.

Champ électrique vs. champ magnétique

Tout aimant possède deux pôles magnétiques. On constate qu'on ne peut pas isoler chacun des pôles en scindant l'aimant en deux. Chacun des morceaux devient un aimant avec deux pôles lui aussi.

Alors qu'on parvient à isoler des charges électrique, on voit que ce n'est pas possible d'isoler des pôles magnétiques. Il n'existe pas de monopôle magnétique alors qu'il existe des monopôles électriques.

Force magnétique sur une charge en mouvement

$F_B$ $q$ $\vec{B}$ est :

$\abs{q}$
$v$ de sa vitesse
$\sin\theta$ $\theta$ $\vec{v}$ $\vec{B}$

On peut alors écrire :

F_{B} = | q | \cdot v \cdot B \cdot \sin θ

$B$ $\vec{B}$ $F_B$ et les autres facteurs, appelé champ magnétique.

$T = \frac{Ns}{Cm}$

Sous sa forme vectorielle, la force est définie par :

\vec{F_{B}} = q \vec{v} \times \vec{B}

$\vec{F_B}$ $q \vec{v}$ $\vec{B}$ . Son sens est alors par la règle du tire-bouchon.

Forces de Lorentz et de Laplace

Force de Lorentz

$q$ $\vec{E}$ $\vec{B}$ , elle subit une force dite de Lorentz donnée par :

{\vec{F}}_{L o r} = q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B} = q \cdot (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})

Force de Laplace

$l$ $I$ $\vec{B}$ subit une force dite de Laplace donnée par :

{\vec{F}}_{L a p} = I \cdot \vec{l} \times \vec{B}

Trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

$q$ $\vec{B}$ $\vec{v} _0$ $\vec{B}$ . Selon la 2^e loi de Newton, on a alors :

{\vec{F}}_{B, 0} = q {\vec{v}}_{0} \times \vec{B} = m \vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \frac{q}{m} ({\vec{v}}_{0} \times \vec{B}) ⊥ {\vec{v}}_{0}

$m$ $\vec{a}$ son accélération. Or, par définition de la force magnétique, l'accélération est en tout temps perpendiculaire à la vitesse de la particule :

{\vec{F}}_{B} = m \vec{a} = q \vec{v} \times \vec{B} ⊥ \vec{v}

Cela implique donc :

$\|\vec{v} \| = v = v_0 = c \in \R$ $\|\vec{a} \| = a = c \in \R$
la charge décrit alors un mouvement circulaire uniforme.

Dans un tel cas :

\begin{aligned} F_{B} = | q | v B = m \frac{v^{2}}{r} \\ \Rightarrow & r = \frac{m v}{| q | B} \end{aligned}

$r$ est le rayon de la trajectoire circulaire. La période de révolution est donnée par :

T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π m}{| q | B}

$\vec{v}$ $\vec{B}$ , la trajectoire de la charge est une hélice ; on parle alors de mouvement hélicoïdal.

Mouvement dans un champ non uniforme

$r \propto B^{-1}$ , le rayon décroît quand la particule se dirige là où le module du champ est plus élevé.

De plus, la particule est soumise à une force orientée vers la région où le champ est plus faible, car la force est toujours perpendiculaire aux lignes de champ.

$B$ est plus intense, elle peut être arrêtée et inverser son mouvement. (→ confinement magnétique)

Champ magnétique généré par le courant électrique

Long fil conducteur rectiligne

Les travaux d'Ørsted ont permis de montrer qu'un courant électrique génère un champ magnétique.

$I$

$\vec{B}$ $r$ du fil est donnée par :

B = \frac{μ_{0} I}{2 π r}

$\mu _0 = 4\pi \cdot 10~{-7} \quad TmA^{-1}$ est une constante appelée constante de perméabilité du vide.

$\vec{B}$ est perpendiculaire au fil tandis que le sens est donné par la règle du tire-bouchon.

Deux fils conducteurs parallèles

$f_1$ $f_2$ $l_1$ $l_2$ $I_1$ $I_2$ $d$ .

Force magnétique entre deux fils parallèles

$f_2$ subit une force par unité de longueur, d'intensité donnée par :

\frac{F_{2, 1}}{l} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{2 π d}

$\vec{F}^{1\rightarrow 2} \perp (\vec{B} ; I_2 \vec{l} )$

$\vec{F}^{1\rightarrow 2} = -\vec{F}^{2\rightarrow 1}$

Boucle de courant

Champ magnétique au centre d'une boucle de courant

$\vec{B}$ $a$ $N$ $I$ est donnée par :

B = \frac{μ_{0} N I}{2 a}

$\vec{B}$ perpendiculaire au plan de la bobine, sens donné par la règle du tire-bouchon.

Solénoïde

Champ magnétique dans un solénoïde

$\vec{B}$ $l$ $N$ $I$ est donnée par :

B = \frac{μ_{0} N I}{l}

Direction : selon l'axe du solénoïde, sens donnée par la règle du tire-bouchon.

Forces entre aimants permanents

Un aimant permanent est un ensemble de boucles de courant microscopiques ayant les mêmes directions et mêmes sens. Les champs magnétiques de chacune de ces boucles s'additionnent pour donner un champ magnétique à l'échelle macroscopique.

$\vec{B}$ .