Chapitre 2 - Potentiel électrique et condensateurs

Chapitre 2 - Potentiel électrique et condensateurs2.1 Travail et énergie2.1.1 Gravité vs. électrostatique2.1.2 Travail d'une force constanteDéfinition2.1.3 EnergieDéfinition2.1.4 Energie potentielle d'une forceDéfinition2.1.5 Gravité vs. électrostatiqueChamp gravifique2.1.6 Champ électrique2.1.7 Potentiel électriqueDéfinitionRemarques2.1.8 EquipotentiellesDéfinitionPropriété2.1.9 Différence de potentiel2.1.10 Energie d'une charge dans un champ électrique2.1.11 L'électronvolt comme unité d'énergie2.2 Condensateurs2.2.1 Concept de capacité2.2.2 Condensateur plan2.2.3 Condensateur cylindrique2.2.4 Association de condensateursCondensateurs en sérieCondensateurs en parallèle2.2.5 Condensateurs avec diélectriquesObservation macroscopiqueCondensateur planCondensateur cylindrique2.3 Diélectriques2.3.1 Description microscopique des diélectriques

2.1 Travail et énergie

2.1.1 Gravité vs. électrostatique

$q$ $\vec{E}$ $m$ $\vec{g}$ à la surface de la terre.

$m$ $\vec{F}_p$

$q$ $\vec{F}_E$

La seule différence majeure entre ces deux forces est que la gravitation n'est que attractive tandis que la force électrique peut aussi être répulsive.

=> L'accélération d'une masse à la surface de la Terre est toujours dirigée vers le bas.

2.1.2 Travail d'une force constante

Le travail d'une force mesure sa contribution à un déplacement.

Définition

$W$ $\vec{F}$ $\vec{d}$ le long d'un trajet rectiligne est défini par :

W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos θ

$J = Nm$

$\vec{F}$ participe au déplacement et est négatif s'il s'y oppose.

2.1.3 Energie

Définition

L'énergie est une grandeur physique abstraite qui demeure en quantité constante dans un système isolé (ne peut ni être créée, ni être détruite, elle se transforme). Elle peut se présenter sous forme cinétique, potentielle, chimique, thermique ou électromagnétique.

$\mathcal{E}$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}$ dans le futur et on peut prédire comment le système évoluera.

Energie = capacité d'effectuer un travail

2.1.4 Energie potentielle d'une force

$\vec{F} = \vec{F}(\vec{r})$ $W_{{C_1}(A \rightarrow B)} = W_{{C_2}(A \rightarrow B)}$ $W_{{C}(A \rightarrow B)}=0$ , elle est conservative.

Définition

$\mathcal{E}_{pot}(\vec{r})$ , appelé énergie potentielle de la force, telle que :

W_{A \to B} (\vec{F}) = - Δ E_{p o t} = - (E_{p o t} ({\vec{r}}_{B}) - E_{p o t} ({\vec{r}}_{A}))

$\mathcal{E}_{pot}(\vec{r})$ $P$ $R$ $\vec{r}_{Ref}$ $P$ $\vec{r}$ .

E_{p o t} (\vec{r}) = - W_{R \to P} (\vec{F})

2.1.5 Gravité vs. électrostatique

Champ gravifique

$\vec{F}_p$ $A$ $B$ :

\begin{aligned} W_{{\vec{F}}_{p}, A B} & = {\vec{F}}_{p} \cdot \vec{d} = F_{p} d \cos 0 \\ = m g | y_{B} - y_{A} | - m g (y_{B} - y_{A}) = m g (y_{A} - y_{B}) \end{aligned}

2.1.6 Champ électrique

$\vec{F}_E$ $A$ $B$ .

\begin{aligned} W_{{\vec{F}}_{E}, A B} & = {\vec{F}}_{E} \cdot \vec{d} = F_{E} d \cos 0 \\ = q E | y_{B} - y_{A} | - q E (y_{B} - y_{A}) = q E (y_{A} - y_{B}) \end{aligned}

$W_{AB}$ $A$ $B$ $W_{AB}$ $\Delta\mathcal{E}_{pot}$

2.1.7 Potentiel électrique

Soit

Δ E_{p o t E} = E_{p o t E, B} - E_{potE, A}

avec

Δ E_{p o t E} = - W_{{\vec{F}}_{E}, A B} = q E (y_{B} - y_{A})

On a alors :

ϕ = \frac{E_{p o t E}}{q} = \frac{q \cdot ∥ \vec{E} ∥ \cdot y}{q} = E \cdot y

Définition

$q$ $\vec{E}$ $\mathcal{E}_{potE}$ potentiel électrique $\phi$ la grandeur donnée par :

ϕ = \frac{E_{p o t E}}{q}

$V = JC^{-1}$

Remarques

$\Delta\mathcal{E}_{potE}=qE(y_B-y_A)$ est valable pour n'importe quelle charge, qu'elle soit positive ou négative.
$q$ ).

2.1.8 Equipotentielles

Définition

$\phi$ forment une surface appelée surface équipotentielle.

Propriété

En tout point de l'espace, une surface équipotentielle est normale à la ligne de champ électrique passant par le point en question.

2.1.9 Différence de potentiel

Différence de potentiel $A$ $B$ :

Δ ϕ = ϕ_{B} - ϕ_{A}

Tension électrique $A$ $B$ :

U_{A B} = - Δ ϕ = ϕ_{A} - ϕ_{B}

$\vec{E}$ est uniforme, alors :

U_{A B} = \vec{E} \cdot \vec{d} = E d \cos θ = E (y_{A} - y_{B})

$\vec{d}=\overrightarrow{AB}$ $\theta$ $\vec{d}$ $\vec{E}$ .

2.1.10 Energie d'une charge dans un champ électrique

$q$ $\vec{E}$ uniforme.

$\vec{F}_E = q \vec{E}$ .

D'après le théorème de l'énergie cinétique :

$q$ $\vec{E}$ $A$ $B$ vaut :

Δ E_{c i n} = E_{c i n, B} - E_{c i n, A} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = q U_{A B}

$\Delta\mathcal{E}_{cin,AB} = W_{\vec{F}_E, AB} = \mathcal{E}_{potE,A} - \mathcal{E}_{potE,B} = q\phi_A - q\phi_B$ .

2.1.11 L'électronvolt comme unité d'énergie

$J$ .

$10^{-12} \space J$ .

Ce n'est donc pas une unité très pratique en électromagnétisme.

On introduit alors une nouvelle unité, appelée électronvolt, définie par l'énergie acquise par un électron depuis le repos, par une différence de potentiel d'un volt :

1 e V = 1.602 \cdot 10^{- 19} J

2.2 Condensateurs

2.2.1 Concept de capacité

On appelle condensateur tout composant électrique constitué de deux conducteurs, appelés armatures, séparés par un isolant.

$+Q$ $-Q$ sur l'autre.

Dans cette configuration, les charges restent mieux en place : la perte de charges est limitée. Le condensateur peut donc être considérée comme un stockeur de charges.

$Q$ proportionnelle à la tension électrique $U$ entre les armatures :

Q = C \cdot U

$C$ capacité $F = CV^{-1}$ .

La capacité d'un condensateur dépend de la taille et de la géométrie des armature ainsi que du milieu isolant entre les armatures.

2.2.2 Condensateur plan

$S$ $d$ . L'isolant entre les plaques est supposé être de l'air ou du vide.

La capacité d'un condensateurs plan est donnée par :

C = \frac{ε_{0} S}{d}

2.2.3 Condensateur cylindrique

$l$ $r_1$ $l$ $r_2$ .

$l\gg r_2 - r_1$ . L'isolant entre les plaques est l'air ou le vide.

La capacité d'un condensateur cylindrique est alors donnée par :

C = \frac{2 π ε_{0} l}{\ln (\frac{r_{2}}{r_{1}})}

2.2.4 Association de condensateurs

Condensateurs en série

$+Q$ $-Q$ ^ème $C_i$ $U_i = \frac{Q}{C_i}$ $C_{équ}$ du système est donc donnée par :

\frac{1}{C_{é q u}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + . . . + \frac{1}{C_{n}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{C_{i}}

Condensateurs en parallèle

$U$ $Q_i$ ^ème $C_i$ $Q_i = C_i U$ $C_{équ}$ du système est donc donnée par :

C_{é q u} = C_{1} + C_{2} + . . . + C_{n} = \sum_{i = 1}^{n} C_{i}

2.2.5 Condensateurs avec diélectriques

Un diélectrique est un milieu dans lequel les électrons ne peuvent pas se déplacer de manière macroscopique : c'est donc un isolant électrique

Observation macroscopique

Quand on introduit un diélectrique entre les armatures d'un condensateur, on observe que sa capacité augmente.

$C_0 = \frac{Q_0}{U_0}$

$U_d = \frac{U_0}{\kappa}$ $\kappa\geq1$ constante diélectrique $\kappa$ est grand, plus le matériau est "un bon diélectrique".

Dans ce cas, la capacité vaut :

C_{d} = \frac{Q_{0}}{U_{d}} = κ \cdot \frac{Q_{0}}{U_{0}} = κ \cdot C_{0}

$\varepsilon =\kappa \cdot \varepsilon_0$ la permittivité électrique du diélectrique en question.

Condensateur plan

C_{d} = κ \cdot \frac{ε_{0} \cdot S}{d} = \frac{ε \cdot S}{d}

Condensateur cylindrique

C_{d} = κ \cdot \frac{2 π ε_{0} l}{\ln (\frac{r_{2}}{r_{1}})} = \frac{2 π ε l}{\ln (\frac{r_{2}}{r_{1}})}

2.3 Diélectriques

2.3.1 Description microscopique des diélectriques

$\vec{E}_0$ .

polaires $\vec{E}_0$ .

Avec un diélectrique avec molécules non polaires : le champ extérieur crée des dipôles induits dans le diélectrique.

champ électrique induit $\vec{E}_{ind}$ . Ce champ s'oppose au champ extérieur.

{\vec{E}}_{d} = {\vec{E}}_{0} + {\vec{E}}_{i n d} = \frac{{\vec{E}}_{0}}{κ}

$\kappa$ est grand, plus le champ diminue et donc, la capacité augmente.

Un bon diélectrique n'est pas forcément un bon isolant :

$\Rightarrow$ ne conduit pas le courant
$\Rightarrow$ matériau dont les charges liées peuvent fortement se polariser.