Chapitre 1 - Electrostatique

Notion de charge électrique

expérience

deux matériaux identiques frottés se repoussent
deux matériaux différents frottés s'attirent

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$\Rightarrow$ elles se repoussent

$\Rightarrow$ elle s'attirent

Si on introduit un élément C, soit :

$\Rightarrow$ C est de type B
$\Rightarrow$ C est de type A

il n'y a aucune autre possibilité.

Provenance des charges

atome

Le noyau central est composé de protons et de neutrons. La charge du noyau est positive.

Le noyau est entouré d'une nuage d'électrons qui gravitent autour de lui. Il est de charge négative.

Un atome (ou une molécule) est dit neutre s'il y a autant de proton que d'électrons. Si leur nombre est différent, on dit que l'atome est un ion.

Si un corps est chargé :

positivement : il y a un déficit d'électrons
négativement : il y a un excédent d'électrons

Quantification de la charge

Toutes les charges ont une valeur qui est un multiple de la charge élémentaire.

$e$ ' et vaut :

e = 1.602 \cdot 10^{- 19} C

proton $q_p = +e$

l'électron $q_e = -e$

Conservation de la charge

La charge électrique n'est ni crée, ni détruite. Elle se transmets simplement d'un corps à l'autre.

$\Rightarrow$ la charge totale d'un système isolé est constante.

Loi de Coulomb

$Q_1$ $Q_2$ $d$ vaut :

F_{E} = \frac{1}{4 π \cdot ϵ_{0}} \cdot \frac{| Q_{1} \cdot Q_{2} |}{d^{2}}

$\epsilon_0 \cong 8.85 \cdot 10^{-12} \space C^2N^{-2}m^{-2}$ qui est la constante de permittivité du vide.

$k = \frac{1}{4\pi \cdot \epsilon_0} \cong 8.98 \cdot 10 ^{9} \space Nm ^{2}C ^{-2}$

Remarques

$Q_1$ $Q_2$ subissent une force de même intensité
La direction de la force est donnée par la droite reliant les deux charges
Les forces sont de sens opposés

Différences entre force de gravité et force électrique

L'intensité de la force électrique est donnée par :

F_{E} = \frac{1}{4 π \cdot ϵ_{0}} \cdot \frac{| Q_{1} \cdot Q_{2} |}{d^{2}}

Tandis que l'intensité de la force de gravitation est donnée par :

F_{G} = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{d^{2}}

Similitudes

$m ^{-2}$
$Q_1 \cdot Q_2$ $m_1 \cdot m_2$

Différences

$F_G$ que attractive $F_E$ peut aussi être répulsive
$F_G$ ne se ressent que pour les objets de très grande taille (planète, ...)

Force électrique sous forme vectorielle

La force électrique vectorielle est donnée par :

{\vec{F_{E}}}_{Q_{1} \to Q_{2}} = \frac{1}{4 π \cdot ϵ_{0}} \cdot \frac{Q_{1} \cdot Q_{2}}{d^{2}} \cdot \vec{u_{r}}

$\vec{u_r}$ est un vecteur unitaire qui a la source pour origine et la cible pour direction.

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\begin{matrix} \vec{u_{r}} = (\begin{matrix} \cos θ \\ \sin θ \end{matrix}) \end{matrix}

Principe de superposition

La force entre deux charges ne dépend pas des autres charges en présence
La force résultantevectorielle $n$ $Q$

Notion de champ

Deux objets chargés subissent entre eux une force électrique sans pour autant qu'il soient en contact.

Pour expliquer l'action d'une force à distance, on introduit la notion de champ.

→ Un corps chargé est attiré par un autre corps chargé parce qu'il se trouve dans son champ électrique

Une charge électrique produit alors un champ électrique dans l'espace qui l'entoure.

Une 2^e particule chargée n'interagit pas avec la 1^re charge elle-même, mais avec son champ.

Champ électrique produit par une charge ponctuelle

$d$ $\vec{E}$ $Q$ vaut :

\vec{E} = \frac{1}{4 π \cdot ϵ_{0}} \cdot \frac{Q}{d^{2}} \cdot \vec{u_{r}}

Définition

$P$ $\vec{E}$ $\vec{F}_{E,P}$ $Q$ $P$ $Q$ elle même :

\vec{E} = \frac{\vec{F_{E}}}{Q} [N C^{- 1}]

Lignes de champ

Comme le champ électrique est définit en tout point du plan, il est compliqué tous les représenter et surtout de les calculer (dès qu'il y a trois charge et plus).

C'est pourquoi on introduit la notion de lignes de champ. Elles permettent de représenter la configuration générale du champ électrique.

Propriétés des lignes de champ

Chaque ligne de champ est dirigée d'une charge positive vers une charge négative
Le nombre de lignes qui partent d'une charge ou qui se dirigent vers une charge est proportionnel à la grandeur la charge
En tout point, le champ est un vecteur tangent à la ligne de champ passant par le point en question
L'intensité du champ est proportionnel à la densité des lignes de champ
Les lignes de champ ne se croisent jamais
Lorsque deux charges se trouvent en présence, les lignes de champ s'incurvent.
Tout près d'une charge, le champ de celle-ci domine → on se retrouve avec un champ radial
$\sum_{i=1}^{n}q_i$ → on se retrouve avec un champ radial

Conducteurs et isolants

Dans un corps dit isolant, tous les électrons sont liés au noyau atomique et ne peuvent pas librement se déplacer sur de longues distances.

Dans un corps dit conducteur, il y a environ un électron libre par atome. L'ensemble de ces électrons est appelé gaz électronique (ou électrons libres) et ils peuvent se déplacer sur de longues distances. Il y a un nuage d'électrons.

Champ électrique et conducteurs

A l'équilibre électrostatique, le champ électrique macroscopique résultant est nul à l'intérieur d'un conducteur homogène. (Si ce n'était pas le cas, les électrons se déplaceraient à l'intérieur du conducteur. )
A l'équilibre électrostatique, le champ électrique extérieur est partout perpendiculaire à la surface du conducteur
A l'équilibre électrostatique, la charge portée par un conducteur se répartit à sa surface.

Cavité dans un conducteur

Comme le champ électrique est nul à l'intérieur du conducteur, il l'est également à l'intérieur d'une cavité de ce même conducteur.

$Q$ dans la cavité, elle produira un champ à l'intérieur de la cavité. A l'intérieur de ce matériau, ce champ induit une séparation des charges ce qui annule le champ externe.

$-Q$ . Les lignes e champ doivent donc s'interrompre et aboutisse donc sur une charge équivalente de signe opposé.

$+Q$ sur la surface extérieure.

Charges en mouvement dans un champ électrique uniforme

On a :

\begin{array}{r} \begin{matrix} \vec{F} = m \cdot \vec{a} \\ \vec{F} = q \cdot \vec{E} \end{matrix}} \Rightarrow q \cdot \vec{E} = m \cdot \vec{a} \end{array}

\Rightarrow \vec{a} = \frac{q \cdot \vec{E}}{m}

$\vec{E}$ identique en tout point de l'espace.

$\Rightarrow \vec{E}$ est constant
$\Rightarrow \vec{a}$ est constant
On a alors un MRUA

En effet, dans ce milieu, une particule chargée subit une force constante et donc une accélération constante. Sa trajectoire est donc bien un MRUA.

Ce principe d'accélération d'électrons est beaucoup utilisé dans des applications courante.

Exemple : tube à rayon cathodiques

Dipôle électrostatique

dipôle $+Q$ $-Q$ mêmes intensités $l$ .

On définit le moment dipolaire comme étant :

p = Q \cdot l

$Cm$ $\vec{p} = Q \cdot \vec{l}$ $-Q$ $+Q$ .

Le moment dipolaire suffit à entièrement définir le dipôle.

Types de dipôles

Dipôles permanents

Beaucoup de molécules constituent des dipôles électrostatique (comme HCl, CO, H₂O, ...). Ces molécules sont dites polaires.

Exemple : molécule d'eau H₂O

$\vec{p}$ $\vec{p}_1$ $\vec{p}_2$ $\vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2$ .

Dipôles induits

En présence d'un champ électrique extérieur, les charge négative et positives d'un corps neutre migrent vers des sites opposés, créant ainsi un dipôle.

On dit qu'il est induit du fait qu'il n'apparait qu'en présence d'un champ ; il disparait dès que ce dernier est supprimé.

Les conducteurs en présence d'un champ extérieur forment un dipôle induit.

Champ électrique créé par un dipôle électrostatique

$\vec{E}$ créé par un dipôle électrique

$\vec{p} = Q \cdot \vec{l}$

Sur le plan médiateur du dipôle, on a :

∥ \vec{E} ∥ ≅ \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{p}{r^{3}} si r ≫ l

Sur l'axe du dipôle, on a :

∥ \vec{E} ∥ ≅ \frac{2}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{p}{r^{3}} si r ≫ l

Démonstration sur la médiatrice :

\begin{aligned} {\vec{E}}^{t o t} & = {\vec{E}}^{+} = {\vec{E}}^{-} = E^{'} \\ E^{'} & = \frac{k Q}{d^{2}} = \frac{k Q}{(\sqrt{a^{2} + r^{2}})^{2}} = \frac{k Q}{a^{2} + r^{2}} \\ E_{x} & = 0 et E_{y} = - ∥ {\vec{E}}_{t o t} ∥ \\ E_{y} & = - (E_{+} + E_{-}) \cdot \cos θ \\ = - 2 E^{'} \cdot \frac{a}{d} = - \frac{2 k Q}{a^{2} + r^{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^{2} + r^{2}}} \\ = - \frac{2 a k Q}{(a^{2} + r^{2})^{\frac{3}{2}}} = - \frac{2 \cdot \frac{1}{2} l \cdot k Q}{(a^{2} + r^{2})^{\frac{3}{2}}} \\ ≅ - \frac{k \cdot (Q l)}{r^{3}} = - \frac{k p}{r^{3}} \end{aligned}

Démonstration sur l'axe :

\begin{aligned} E & = E_{+} - E_{-} \\ = \frac{k Q}{r^{2}} - \frac{k Q}{(r + l)^{2}} = k Q \cdot (\frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{(r + l)^{2}}) \\ = k Q \cdot (\frac{(r + l)^{2}}{r^{2} (r + l)^{2}} - \frac{r^{2}}{r^{2} (r + l)^{2}}) = k Q \cdot (\frac{(r + l)^{2} - r^{2}}{r^{2} (r + l)^{2}}) \\ ≅ k Q \cdot (\frac{2 r l}{r^{4}}) = k Q \cdot (\frac{2 l}{r^{3}}) = \frac{2 k \cdot (Q l)}{r^{3}} = \frac{2 k p}{r^{3}} \end{aligned}

Dipôle dans un champ électrique uniforme

$\vec{p} = Q \cdot \vec{l}$ $\vec{E}$ $\theta$ $\vec{p}$ $\vec{E}$ .

\begin{aligned} \vec{F} & = {\vec{F}}^{+} + {\vec{F}}^{-} = Q \cdot \vec{E} - Q \cdot \vec{E} = \vec{0} \\ \vec{M} & = \vec{l} \times {\vec{F}}^{+} = \vec{p} \times \vec{E} \end{aligned}

On a alors :

M = p E \cdot \sin θ

Dipôle dans un champ électrique non uniforme

$\vec{p} = Q \vec{l}$ $\vec{E}$ non-uniforme.

\vec{F} = {\vec{F}}_{+} + {\vec{F}}_{-} = Q {\vec{E}}_{+} - Q {\vec{E}}_{-} = Q Δ \vec{E} \neq \vec{0}

Une force résultante non-nulle s'applique alors sur le dipôle.

$\vec{F}_+$ $\vec{F}_-$ créent un moment de force tendant à orienter le dipôle selon une ligne de champ électrique.