Soit \(f : D\longmapsto \mathbb{R}\) une fonction et soit \(c\in D\). On dit que \(f\) possède :
un maximum global en \(x=c\) si \(f(c)\geq f(x) \quad ,\forall x\in D\)
un minimum global en \(x=c\) si \(f(c) \leq f(x)\quad ,\forall x\in D\)
Soit \(f : D\longmapsto \mathbb{R}\) une fonction et soit \(c\in D\). On dit alors que \(f\) possède :
un maximum local en \(x=c\) si \(f(c) \geq f(x) \quad ,\forall x\in D\) proche de \(c\)
un minimum local en \(x=c\) si \(f(c)\leq f(x) \quad , \forall x\in D\) proche de \(c\)
“\(\forall x\in D\) proche de \(c\)” signifie que \(f\) possède un maximum (minimum) local en \(x=c\) s’il existe un intervalle ouvert \(I\) contenant \(c\) t.q. \(f(c)\geq f(x) \quad ,\forall D \in D \cap I\)
Soit \(f:D\longmapsto \mathbb{R}\) une fonction. Si \(f\) possède un maximum ou un minimum local en un point \(c\in D\), alors au moins l’une des conditions suivantes doit être remplie :
Attention : La réciproque est fausse ! En effet, \(f'(c) = 0\) n’implique pas l’existence d’une valeur extrême en \(c\).
Soit \(f:D\longmapsto \mathbb{R}\) une fonction. Un point critique de \(f\) est un point \(c\in D\) satisfaisant au moins une des conditions suivantes :
On peut alors reformuler le théorème de Fermat comme suit :
Toute fonction ne peut posséder de valeurs extrêmes locale ou globales qu’en des points critiques.
Soit \(f:[a,b]\longmapsto \mathbb{R}\) une fonction continue définie sur un intervalle fermé \([a,b]\). Alors \(f\) possède un maximum global et un minimum global sur l’intervalle \([a,b]\)
Soit \(f:[a,b]\longmapsto \mathbb{R}\) une fonction continue définie sur l’intervalle fermé \([a,b]\).
Attention : Cette méthode ne s’applique que pour déterminer les valeurs extrêmes globales d’une fonction continue sur un intervalle fermé !
Soit \(f\) une fonction.
Domaine de définition : déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\)
Parité : Déterminer si la fonction est paire, impaire ou ni l’un, ni l’autre
Intersections avec les axes : Déterminer les points d’intersections avec les axes \(O_x\) et \(O_y\).
Comportement asymptotique : Calculer les équations des asymptotes de \(f\).
Dérivées : Calculer les fonction dérivées \(f'\) et \(f''\) et les écrire sous une forme propice à faire à tableau de signe.
Étude de croissance et valeurs extrêmes : Déterminer le domaine de définition de \(f'\), les intervalles sur lesquels \(f\) est croissante ou décroissante, les maximums et minimums locaux et globaux de \(f\) ainsi que les points à tangente verticale.
Étude de convexité et points d’inflexion : Déterminer le domaine de définition de \(f''\), les intervalles sur lesquels \(f\) est convexe ou concave ainsi que les points d’inflexion de \(f\).
Tableau de valeurs : Calculer les coordonnées de quelques points utiles pour dessiner le graphe de \(f\).
Dessin du graphe : Dessiner le graphe de \(f\) à l’aide des informations des points (1) à (9).
La recherche des valeurs extrêmes s’avère très utile pour résoudre les problèmes d’optimisation.
Comprendre le problème
Faire un croquis.
Introduire des notations. Attribuer un symbole à la quantité à optimiser ainsi qu’à toutes les quantités inconnues.
Écrire une équation. Chercher à exprimer la variable à optimiser en fonction des autres variables du problème.
Écrire l’équation du point (4) sous la forme d’une fonction à une variable.
Déterminer le domaine d’optimisation. Déterminer sur quel ensemble la fonction du point (5) doit être optimisée.
Réaliser l’optimisation. Rechercher la (les) valeurs maximale(s) et/ou minimale(s).
Lors de la résolution d’un problème d’optimisation, il faut particulièrement veiller à satisfaire les cinq points suivants :
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