Chapitre 1 - Fonctions

Fonctions et graphes

Définition d'une fonction

Définition 1.1.1 :

une fonction $f:D⟼\mathbb{R}$$f : D \longmapsto \R$ est une relation qui assigne à chaque élément $x\in D\subset \mathbb{R}$$x \in D \subset \R$ un unique élément noté $f(x)$$f(x)$

D est l'ensemble de départ de la fonction $f$$f$.

Graphe d'une fonction

Définition 1.1.3 :

Soit $f:D⟼\mathbb{R}$$f : D \longmapsto \R$ une fonction.

Le graphe de la fonction $f$$f$ est :

Théorème 1.1.6

Une courbe dans le plan est une fonction ssi aucune droite verticale ne coupe la courbe plus d'une fois.

Domaine de définition et ensemble image

Définition 1.1.7

Si non précisé, le domaine de définition d'une fonction $f$$f$ est le plus grand ensemble de départ possible.

Définition 1.1.11

L'ensemble image d'une fonction $f:D⟼\mathbb{R}$$f : D \longmapsto \R$ est l'ensemble :

Opérations sur les fonctions

Translations, dilatations, compressions et symétries

Théorème 1.2.1

Soit $f:D⟼\mathbb{R}$$f:D \longmapsto \R$ une fonction. Soit $c>0$$c>0$

1. $y=f(x)+c$$y = f(x) + c$ → translation de $c$$c$ unités vers le haut
2. $y=f(x)-c$$y = f(x) - c$ → translation de $c$$c$ unités vers le bas
3. $y=f(x+c)$$y = f(x+c)$ → translation de $c$$c$ unités vers la gauche
4. $y=f(x-c)$$y = f(x-c)$ → translation de $c$$c$ unités vers la droite

Théorème 1.2.3

Soit $f:D⟼\mathbb{R}$$f : D \longmapsto \R$ une fonction. Soit $\lambda >0$$\lambda>0$.

1. $y=\lambda \cdot f(x)$$y = \lambda \cdot f(x)$ → dilatation verticale d'un facteur $\lambda$$\lambda$
2. $y={\lambda }^{-1}\cdot f(x)$$y = \lambda^{-1} \cdot f(x)$ → compression verticale d'un facteur $\lambda$$\lambda$
3. $y=f(\lambda \cdot x)$$y = f(\lambda \cdot x)$ → compression horizontale d'un facteur $\lambda$$\lambda$
4. $y=f({\lambda }^{-1}\cdot x)$$y = f(\lambda^{-1} \cdot x)$ → dilatation horizontale d'un facteur $\lambda$$\lambda$
5. $y=-f(x)$$y = -f(x)$ → symétrie par rapport à l'axe $O_x$$O_x$
6. $y=f(-x)$$y = f(-x)$ → symétrie par rapport à l'axe $O_y$$O_y$

Parité des fonctions

Définition 1.2.5

Soit $f:D⟼\mathbb{R}$$f : D \longmapsto \R$ une fonction.

On dit que $f$$f$ est paire ssi :

Définition 1.2.6

Soit $f:D⟼\mathbb{R}$$f : D \longmapsto \R$ une fonction.

On dit que $f$$f$ est impaire ssi :

Composition de fonctions

Définition 1.2.9

Soient $f:D_f⟼\mathbb{R}$$f : D_f \longmapsto \R$ et $g:D_g⟼\mathbb{R}$$g : D_g \longmapsto \R$ deux fonctions.

La fonction composée de $f$$f$ et de $g$$g$ est définie par :

Le domaine de définition de la composition vaut alors :

Fonctions quadratiques

Définition

Définition 1.3.1

Une fonction $f$$f$ est dite quadratique ssi elle peut s'écrire sous la forme :

Dans la pratique on écrit l'expression sous trois formes différentes :

1. développée : $f(x)=a{x}^2+bx+c$$f(x) = ax^2 + bx + c$
2. factorisée : $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$$f(x) = a(x-r_1)(x-r_2)$
3. canonique : $f(x)=a(x-p{)}^2+q$$f(x) = a(x-p)^2 + q$

On voit que le coefficient $a$$a$ est présent et est le même dans les trois formes.

→ Si $a>0$$a>0$ , le graphe de $f$$f$ est convexe

→ Si $a<0$$a<0$ , le graphe de $f$$f$ est concave

Formes développée

Théorème 1.3.2

Soit $f(x)=a{x}^2+bx+c$$f(x) = ax^2 + bx + c$ une fonction quadratique sous forme développée.

Soit $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$\Delta = b^2 -4ac$ le discriminant de $f$$f$.

1. $\mathrm{\Delta }>0$$\Delta >0$

   $f$$f$ possède les deux racines :

   $$r_1,r_2=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$

2. $\mathrm{\Delta }=0$$\Delta = 0$

   $f$$f$ possède une unique racine :

   $$r=-\frac{b}{2a}$$

3. $\mathrm{\Delta }<0$$\Delta <0$

   $f$$f$ ne possède aucune racine réelle.

Théorème 1.3.3

Soit $f(x)=a{x}^2+bx+c$$f(x) = ax^2 +bx + c$ , la forme développée de la fonction $f$$f$, alors l'axe de symétrie du graphe de $f$$f$ est la droite verticale d'équation

Le sommet du graphe de $f$$f$ passe inévitablement par ce point. Cela implique que la coordonnée $x$$x$ du sommet $X_s$$X_s$ vaut

$$X_s=-\frac{b}{2a}$$

Forme factorisée

La forme dite factorisée sous la forme $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$$f(x) = a(x-r_1)(x-r_2)$ permet d'immédiatement lire la valeur des racines de $f$$f$, à savoir $r_1$$r_1$ et $r_2$$r_2$.

Théorème 1.3.5

Soit $f(x)=a{x}^2+bx+c$$f(x)=ax^2+bx+c$ une fonction sous forme développée. Soit $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$\Delta = b^2 -4ac$, le discriminant de $f$$f$.

1. $\mathrm{\Delta }>0$$\Delta >0$

On peut alors factoriser $f$$f$ de la façon :

2. $\mathrm{\Delta }=0$$\Delta =0$

On peut factoriser la fonction $f$$f$ de la façon

3. $\mathrm{\Delta }<0$$\Delta <0$

On ne peut alors pas factoriser $f$$f$ avec des nombres réels.

Forme canonique

La forme canonique permet de facilement dessiner le graphe de la fonction.

En effet, on constate qu'on obtient la parabole $f(x)=a(x-p{)}^2+q$$f(x) = a(x-p)^2+q$ en effectuant les opération suivante dans l'ordre :

1. Une translation horizontale de $\left|p\right|$$\abs{p}$ unités (à droite ou à gauche selon le signe de $p$$p$)
2. Une homothétie verticale d'un facteur $\left|a\right|$$\abs{a}$ (avec ou sans symétrie par rapport à $O_x$$O_x$ selon le signe de $a$$a$)
3. Une translation verticale de $\left|q\right|$$\abs{q}$ unités (vers le haut ou le bas selon le signe de $q$$q$)

Le sommet de la parabole se trouve alors en $S(p,q)$$S(p,q)$

Fonctions polynomiales

Définition

Définition 1.4.1

Un polynôme de degré $n$$n$ est une fonction de la forme :

Où $a_n\ne 0$$a_n \neq 0$

Les nombres $a_0,...,a_n$$a_0, ..., a_n$ sont appelés les coefficients du polynôme et $a_n$$a_n$ est le coefficient dominant.

Racines et factorisation de polynômes

Théorème 1.4.3

Soit $f$$f$ un polynôme et soit $r\in \mathbb{R}$$r \in \R$.

Si le facteur $(x-r)$$(x-r)$ divise $f$$f$, alors $f(r)=0$$f(r) = 0$ ($r$$r$ est donc une racine de $f$$f$)

Théorème 1.4.5

Si $r$$r$ est une racine de $f$$f$, alors $(x-r)$$(x-r)$ divise $f$$f$.

procédure pour factoriser

par exemple $f(x)=x^3-2x^2+2x-1$$f(x) = x^3-2x^2+2x-1$

1. on trouve une racine simple

2. on divise $f(x)$$f(x)$ par $(x-r)$$(x-r)$

3. On détermine le quotient en sachant que :

   $$f(x)=(x-r)\cdot Q$$

Pour notre exemple :

Théorème 1.4.7

Un polynôme $f$$f$ est factorisé au maximum ssi il est factorisé en un produit de :

1. polynômes de degré 1 de type $ax+b$$ax+b$
2. polynômes de degré 2 de type $a{x}^2+bx+c$$ax^2+bx+c$ où $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac<0$$\Delta = b^2 -4ac <0$

Equations polynomiales

Pour résoudre une équation polynomiale, il suffit de la réécrire sous la forme $f(x)=0$$f(x)=0$, puis de factoriser au maximum et de lire les solutions dans la forme factorisée.

exemple

Inéquations polynomiales

Etapes pour la résolution d'inéquations polynomiales :

1. Mettre tous les termes du même côté
2. Factoriser au maximum
3. Faire une étude de signe
4. En déduire la solution

Fonction rationnelles

Définition

Définition

Une fonction rationnelles est une fonction de la forme :

Où $p,q$$p,q$ sont des polynômes.

La fonction rationnelles la plus simple est la fonction $f(x)=\frac{1}{x}$$f(x)=\frac{1}{x}$

Son domaine de définition est $D=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$$D=\R \setminus \left\{0\right\}$, son ensemble image est également $I=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$$I=\R \setminus \left\{0\right\}$ et son graphe passe par les points $(-1,-1)$$(-1,-1)$ et $(1,1)$$(1,1)$.

En utilisant les transformations géométriques, il est possible, à partir de la fonction $\frac{1}{x}$$\frac{1}{x}$ de tracer le graphe de n'importe quelle fonction de la forme

Equations rationnelles

L'idée générale est de se ramener à une équation polynomiale en multipliant l'équation par les dénominateurs.

Il faut en revanche faire attention aux conditions d'existences, càd exclure les divisions par zéro ou les racines de nombres négatifs de l'ensemble solution.

Marche à suivre pour résoudre une équation rationnelle

1. Déterminer les conditions d'existence
2. Se ramener à une équation polynomiale
3. Résoudre l'équation polynomiale
4. En déduire l'ensemble solution

Ne pas oublier de vérifier que les solutions satisfont les conditions d'existence!

Inéquations rationnelles

L'idée générale est de mettre tous les termes du même côté de l'inégalité, puis de faire une étude de signe.

Il ne faut pas se ramener à une inéquation polynomiale en multipliant l'inégalité par les dénominateurs

En effet, on sait que lorsque l'on multiplie ou divise par une valeur négative, on doit changer le signe de l'inégalité. Or, on n'a aucun moyen de connaitre le signe du dénominateur avant d'avoir entièrement résolu l'inéquation (sauf cas spécifiques).

Marche à suivre pour résoudre une inéquation rationnelle

1. Déterminer les conditions d'existence
2. Mettre tous les termes du même côté de l'inégalité
3. Réécrire le membre non-nul comme une seule fonction rationnelle
4. Factoriser le numérateur et le dénominateur jusqu'à obtenir des polynômes premiers entre eux.
5. Effectuer une étude de signe
6. Déduire l'ensemble solution

Fonctions exponentielles

Propriété des puissances

Soit une fonction exponentielle du type $f(x)=a^x$$f(x)=a^x$.

1. Si $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$x \in \N^*$

   $$a^n=\underset{nfois}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}}$$

2. Si $x=-n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$x=-n \space , n \in \N^*$

   $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

3. Si $x=0$$x=0$

   $$a^0=1$$

4. Si $x=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$$x = \frac{p}{q} \in \Q$

   $$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}=(\sqrt[q]{a}{)}^p$$

Fonctions exponentielles

Définition 1.6.1

Soit $a>0$$a>0$. La fonction définie par $f(x)=a^x$$f(x)=a^x$ est appelée fonction exponentielle de base $a$$a$.

Dans la figure suivante, on a représenté les graphes de fonctions exponentielles $a^x$$a^x$ pour plusieurs valeurs de base $a$$a$.

On peut alors distinguer essentiellement trios types de fonctions exponentielles en fonction de la valeur de la base $a$$a$ :

Fonction exponentielle naturelle

De toutes les bases possibles, il y en a une qui convient particulièrement au calcul différentiel : il s'agit du nombre d'Euler $e\cong 2.71828$$e \cong 2.71828$.

En effet, la dérivée fonction $f(x)=e^x$$f(x)=e^x$ vaut toujours $\frac{d}{dx}f(x)=e^x=f(x)$$\frac{d}{dx} f(x) = e^x=f(x)$. On peut aussi exprimer cette propriété en remarquant que la pente de la tangente au graphe de $e^x$$e^x$ en tout point $(x,e^x)$$(x,e^x)$ vaut exactement $e^x$$e^x$.

On appelle alors la fonction $f(x)=e^x$$f(x)=e^x$, la fonction exponentielle naturelle.

Règles de calcul des puissances

Théorème 1.6.4

Soient $a,b>0$$a,b > 0$ ainsi que $x,y\in \mathbb{R}$$x,y \in \R$. Alors on a :

Equations et inéquations exponentielles (partie 1)

Contrairement aux équations et inéquations polynomiales ou rationnelles, il n'existe pas de marche à suivre systématique pour résoudre une équation ou inéquation exponentielle.

En revanche, il peut être utile d'exploiter le fait que :

Fonctions inverses

Inversibilité

Définition

Une fonction $f$$f$ est dite inversible sur un ensemble $A\subset \mathbb{R}$$A \subset \R$ si et seulement si

Théorème

Une fonction $f$$f$ est inversible sur un ensemble $A$$A$ si et seulement si aucune droite horizontale ne coupe le graphe de $f$$f$ plus d'une fois sur $A$$A$.

Fonctions inverses

Définition

Soit $f:A⟼B$$f : A\longmapsto B$ une fonction inversible sur un ensemble $A$$A$ dont l'ensemble image (restreint à $A$$A$) est $B$$B$. Alors la fonction $f^{-1}:B⟼A$$f^{-1} : B \longmapsto A$ s'appelle la fonction inverse de $f$$f$ et est définie par :

Théorème

Soit $f:A⟼B$$f:A \longmapsto B$ une fonction inversible sur $A$$A$ dont l'ensemble image est $B$$B$ et soit $f^{-1}:B⟼A$$f^{-1}:B \longmapsto A$ sa fonction inverse. Alors :

Graphe d'une fonction inverse

Par la définition, on a $f^{-1}(b)=a\iff f(a)=b$$f^{-1}(b)=a \Leftrightarrow f(a)=b$.

Ainsi, un point $(a,b)$$(a,b)$ appartient au graphe de $f$$f$ si et seulement si $(b.a)$$(b.a)$ appartient au graphe de $f^{-1}$$f^{-1}$.

Or les points $(a,b)$$(a,b)$ et $(b,a)$$(b,a)$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$$y=x$.

Ceci explique le théorème suivant :

Théorème

Soit $f$$f$ une fonction inversible et soit $f^{-1}$$f^{-1}$ sa fonction inverse. La graphe de $f^{-1}$$f^{-1}$ est l'image symétrique du graphe de $f$$f$ par rapport à la droite $y=x$$y=x$.

Détermination de l'expression algébrique de $f^{-1}$$f^{-1}$

Si $f$$f$ est une fonction inversible donnée par une expression algébrique, voici une procédure pour déterminer l'expression algébrique de sa fonction inverse :

1. Ecrire $y=f(x)$$y=f(x)$
2. Résoudre l'équation en $x$$x$ (c'est-à-dire exprimer $x$$x$ en fonction de $y$$y$)
3. Permuter $x$$x$ et $y$$y$ dans l'expression algébrique trouvée (sauf si $x$$x$ et $y$$y$ ont une signification)

Fonctions logarithmiques

Définition

On voit que la fonction exponentielle $f:\mathbb{R}⟼]0,+\mathrm{\infty }[$$f :\R \longmapsto ]0,+ \infty[$ est inversible.

Définition 1.8.1

Soit $a\in ]0,1[\cup ]1,+\mathrm{\infty }[$$a \in ]0,1[ \cup ]1,+ \infty[$. La fonction logarithme en base a, notée $lo{g}_a(x)$$log_a(x)$ est la fonction inverse de la fonction $a^x$$a^x$.

Théorème 1.8.2

On a :

Ainsi, lorsque $x\in ]0,+\mathrm{\infty }[$$x \in ]0, +\infty[$ ,

$lo{g}_a(x)$$log_a(x)$ est la puissance à laquelle il faut élever $a$$a$ pour obtenir $x$$x$.

Théorème 1.8.4

On a

Logarithme naturel

On a vu au chapitre que l'exponentielle de base de nombre d'Euler $e$$e$ : $f(x)=e^x$$f(x) = e^x$ est souvent utilisé. On note le logarithme de base $e$$e$, aussi appelé logarithme naturel de cette manière :

On a aussi :

et

Dans le cas particulier où $x=1$$x=1$, on obtient :

Règles de calcul des logarithmes

Théorème 1.8.5

Soit $a\in ]0,1[\cup ]1,+\mathrm{\infty }[,x,y\in ]0,+\mathrm{\infty }[$$a \in ]0,1[\cup]1,+\infty[, \space x,y \in ]0,+\infty[$ et $r\in \mathbb{R}$$r \in \R$. Alors

1. ${\log }_a(xy)={\log }_a(x)+{\log }_a(y)$$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
2. ${\log }_a(\frac{x}{y})={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$$\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a{x}-\log_a{y}$
3. ${\log }_a{x}^r=r\cdot {\log }_{a}x$$\log_a{x^r} = r \cdot \log_a{x}$

Equations et inéquations logarithmiques

Comme pour les équations exponentielles, il n'existe pas de marche à suivre précise pour résoudre des équations logarithmiques.

En revanche, il peut être utile d'exploiter le fait que

Car les fonctions ${\log }_a(x)$$\log_a(x)$ et exponentielles sont strictement croissantes ou strictement décroissante pour $a\ne 1$$a \neq 1$

Il faut par contre faire attention aux conditions d'existence : ${\log }_a(x)$$\log_a(x)$ n'est défini que pour $x>0$$x>0$

Théorème 1.8.8

1. Si $a>1$$a > 1$, on a ${\log }_a(x_1)<{\log }_a(x_2)\iff x_1<x_2$$\log_a(x_1) < \log_a(x_2) \Leftrightarrow x_1 < x_2$
2. Si $0<a<1$$0<a<1$, on a ${\log }_a(x_1)<{\log }_a(x_2)\iff x_1>x_2$$\log_a(x_1) < \log_a(x_2) \Leftrightarrow x_1 > x_2$

Prendre un logarithme de base $a\in ]0,1[$$a \in ]0,1[$ dans une inéquation change le sens de l'inégalité

Equations et inéquations exponentielles (partie 2)

Grâce aux logarithmes, on a tous les outils pour résoudre les équation (ou inéquation) exponentielles quelconques sous la forme $a^{f(x)}=b^{g(x)}$$a^{f(x)} = b^{g(x)}$, où $a\ne b$$a \neq b$

Exemple

Résoudre l'équation $3^{x+2}=7^x$$3^{x+2} = 7^x$

Solution :

Ainsi l'ensemble solution vaut :

Fonctions trigonométriques

Mesure des angles en radians

Définition 1.9.1

La mesure d'un angle $\theta$$\theta$ en radiants est la longueur de l'arc de cercle unité interceptant un angle de $\theta$$\theta$ au centre.

Par convention, les angles sont positifs quand on les mesure dans le sens anti-horaire et négatif dans le sens horaire.

Définition des fonctions trigonométriques

Définition 1.9.2

Soit $P$$P$ un point du cercle unité tel que le segment fait un angle $\theta$$\theta$ avec la partie positive de l'axe $x$$x$.

1. On appelle cosinus de $\theta$$\theta$ l'abscisse du point $P$$P$
2. On appelle sinus l'ordonnée de $\theta$$\theta$ du point $P$$P$
3. On appelle tangente de $\theta$$\theta$ la hauteur à laquelle la droite $OP$$OP$ intersecte la droite $x=1$$x=1$.

Théorème 1.9.3

Dans le tableau suivant sont représentées les valeurs exactes des fonctions trigonométriques pour quelques valeurs d'angle.

Théorème 1.9.4

$\mathrm{\forall }\theta \in \mathbb{R}$$\forall \theta \in \R$, on a

→ Ces identités sont à connaitre par cœur!

Graphes des fonctions trigonométriques

En analyse, dans les fonctions trigonométriques, les angles se mesurent toujours en radians.

Les fonctions $\sin x$$\sin x$ et $\cos x$$\cos x$

Le domaine de définition des fonctions $\cos x$$\cos x$ et $\sin x$$\sin x$ vaut $D_{\sin }=D_{\cos }=\mathbb{R}$$D_{\sin} = D_{\cos} = \R$.

L'ensemble image des fonctions $\cos x$$\cos x$ et $\sin x$$\sin x$ vaut $I_{\sin }=I_{\cos }=[-1,1]$$I_{\sin} = I_{\cos} = \left[-1,1\right]$

Graphe de la fonction $\sin x$$\sin x$

Graphe de la fonction $\cos x$$\cos x$

Le domaine de définition de la fonction $\tan x$$\tan x$ vaut $D_{\tan }=\mathbb{R}\setminus \{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\text{ impair }\}$$D_{\tan} = \R \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2} \mid k \in \Z \mbox{ impair }\right\}$

L'ensemble image de la fonction $\tan x$$\tan x$ vaut $I_{\tan }=\mathbb{R}$$I_{\tan} = \R$

Graphe de la fonction $\tan x$$\tan x$

Remarque : Les fonctions sinus et tangentes sont impaires tandis que la fonction cosinus est paire.

Fonctions trigonométriques inverses

Les fonctions trigonométriques telles quelles ne sont pas injectives/inversibles. (Il existe une infinité de même valeur de cos/sin/tan pour un même angle $\theta$$\theta$)

$\Rightarrow$$\Rightarrow$ il faut donc restreindre le domaine de définition pour définir les fonction trigonométriques inverses.

Définition 1.9.8

La fonction arcsinus, notée $\arcsin x$$\arcsin x$ est la fonction définie par

A un nombre réel $x\in [-1,1]$$x \in \left[ -1,1\right]$, la fonction $\arcsin$$\arcsin$ fait donc correspondre l'unique nombre réel $y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$y \in \left[ - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}\right]$.

Le domaine de définition de la fonction $\arcsin x$$\arcsin x$ vaut $D_{\arcsin }=[-1,1]$$D_{\arcsin} = \left[-1,1\right]$

L'ensemble image de la fonction $\arcsin x$$\arcsin x$ vaut $I_{\arcsin }=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$I_{\arcsin} = \left[ - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$

Théorème 1.9.9

Les fonctions $\sin x$$\sin x$ et $\arcsin x$$\arcsin x$ satisfont les relations suivantes :

Définition 1.9.10

La fonction arccosinus, notée $\arccos x$$\arccos x$ est la fonction définie par :

Le domaine de définition de la fonction $\arccos x$$\arccos x$ vaut $D_{\arccos }=[-1,1]$$D_{\arccos} = \left[-1,1\right]$

L'ensemble image de la fonction $\arccos x$$\arccos x$ vaut $I_{\arccos }=[0,\pi ]$$I_{\arccos} = \left[0,\pi\right]$

Définition 1.9.11

La fonction arctangente, notée $\arctan x$$\arctan x$ est la fonction définie par :

Le domaine de définition de la fonction $\arctan x$$\arctan x$ vaut $D_{\arctan }=\mathbb{R}$$D_{\arctan} = \R$

L'ensemble image de la fonction $\arctan x$$\arctan x$ vaut $I_{\arctan }=]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$$I_{\arctan} = \left] - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right[$

Equations et inéquations trigonométriques

Les seules équations trigonométriques que l'on sait vraiment résoudre sont les équations de la forme $T(x)=c$$T(x)=c$ avec $T$$T$ une fonction trigonométrique et $c\in \mathbb{R}$$c \in \R$ une constante.

Il faut toujours faire attention aux conditions d'existence !

Fonctions définies par morceaux

On appelle les fonctions définies par morceaux, les fonctions dont l'expression algébrique diffère selon la partie du domaine de définition considéré.

Exemples

Exemple 1.10.1

Soit la fonction

Cette notation signifie que pour $x\le -1$$x \leq -1$, l'expression algébrique de $f$$f$ est $1-x$$1-x$ et que pour $x>-1$$x>-1$, l'expression algébrique de $f$$f$ est $x^2$$x^2$.

Valeur absolue

Définition 1.10.4

La fonction valeur absolue, notée $\left|x\right|$$\abs{x}$, est définie par :

Si $x\in \mathbb{R}$$x \in \R$, la valeur absolue $\left|x\right|$$\abs{x}$ exprime la distance entre le nombre $x$$x$ et $0$$0$. Ainsi :

Théorème 1.10.7

Soient $a,b\in \mathbb{R}$$a,b \in \R$. Alors :

Théorème 1.10.8

Soit $a>0$$a >0$. Alors

Théorème 1.10.9

Soient $a,b\in \mathbb{R}$$a,b \in \R$. La distance entre $a$$a$ et $b$$b$ est donnée par la valeur absolue :

Exemple 1.10.11

Résoudre l'inéquation $|x-5|<2$$\abs{x-5}<2$

On se base sur le théorème 1.10.8 : $\left|x\right|<a\iff x\in ]-a,a[$$\abs{x} <a \quad \Leftrightarrow \quad x \in \left] -a,a\right[$

On a alors :