Chapitre 4 - Rotation

Motivation

Jusqu'à présent, on a considéré uniquement traités les corps comme des objets ponctuels. Cette approximation est valable si le mouvement est une translation pure ou si la proportion de rotation peut être négligée.

Si la rotation domine, il faut introduire de nouvelles valeurs, dites angulaires et construire la cinématique, la dynamique, le travail et l'énergie autour de ces variables.

Cinétique de la rotation

Les grandeurs utilisées jusqu'à présent seront qualifiées dans ce chapitre de linéaires : la position linéaire, la vitesse linéaire et l'accélération linéaire.

$\Delta \theta = \theta_B - \theta_A$ .

Déplacement angulaire

$\Delta\theta$ $s$ par la relation :

Δ θ = \frac{s}{r} \Leftrightarrow s = r \cdot Δ θ

Vitesse angulaire

$\omega$ $rad \cdot s^{-1}$ , qui est la même pour toutes la particules du corps.

Vitesse angulaire moyenne

La vitesse angulaire moyenne est donnée par :

ω_{m o y} = \frac{Δ θ}{Δ t} = \frac{θ_{f} - θ_{i}}{t_{f} - t_{i}}

Vitesse angulaire instantanée

La vitesse angulaire instantanée est quant à elle donnée par :

ω = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ θ}{Δ t} = \frac{d θ}{d t}

$\vec{\omega}$ est donné par la règle de la main droite.

Accélération angulaire

Accélération angulaire moyenne

γ_{m o y} = \frac{Δ ω}{Δ t} = \frac{ω_{f} - ω_{i}}{t_{f} - t_{i}}

Accélération angulaire instantanée

γ = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ ω}{Δ t} = \frac{d ω}{d t} = \frac{d^{2} θ}{d t^{2}}

Période et fréquence

$T$ est le temps nécessaire pour effectuer un tour complet.

$\nu$ est donnée par :

ν = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π} [s^{- 1}] = [H z]

Equations de la cinématique de rotation

Equations de la cinématique de rotation à accélération angulaire constante

\begin{matrix} ω (t) = γ t + ω_{0} \\ θ (t) = \frac{1}{2} γ t^{2} + ω_{0} t + θ_{0} \end{matrix}

Liens entre variables linéaires et angulaires

Vitesse tangentielle et vitesse angulaire

v_{t} = \frac{d s}{d t} = \frac{d (θ r)}{d t} = \frac{d θ}{d t} r = ω r

Accélération centripète et vitesse angulaire

a_{r} = \frac{v_{t}^{2}}{r} = \frac{ω^{2} r^{2}}{r} = ω^{2} r

Accélération tangentielle et accélération angulaire

a_{t} = \frac{d v_{t}}{d t} = \frac{d ω}{d t} r = γ r

Roulement

$R$ $\omega$ , la vitesse de son centre a pour module :

v_{c} = \frac{2 π R}{T} = ω R = v_{t R}

$v_{tR}$ $v_t$ $R$ du centre de rotation.

Introduction à la dynamique de la rotation

Moment de force

Le moment de force est l'outil mathématique représentant la capacité à faire tourner un objet.

Intensité du moment de force

L'intensité du moment de force est donnée par :

M = \pm r F \sin θ

$r_{\perp}$ est la distance minimale entre le pivot et le support de la force et est appelé le bras de levier

Vecteur moment de force

$A$ par un vecteur lié (à son point d'application) dont :

$A$
La ligne d'action est la perpendiculaire au plan de rotation (= axe de rotation)
Le sens vérifie la règle de la main droite
$M = F \cdot d = r_{\perp} \cdot F$
$N \cdot m$
Son sens est positif dans le cas d'une rotation antihoraire

$O$ est défini par le produit vectoriel suivant :

{\vec{M}}_{O} = \vec{r} \times \vec{F}