2. Nombres complexes

2. Nombres complexes2.1 Définition formelle2.1.1 Plan de Gauss2.1.2 Module et argument2.1.3 Opérations de base sur les nombres complexes1. Egalité2. Somme et différence3. Multiplication par un réel4. Multiplication par un complexe5. Conjugaison complexePropriétés du conjugué complexe 6. Quotient de deux nombres complexes2.2 Forme polaire2.2.1 Formules d'Euler et de De Moivre2.2.2 Nombres complexes sous forme polairePassage de la forme cartésienne à la forme polairePassage de la forme polaire à la forme cartésienne2.2.3 Opérations EgalitéConjugué complexeModuleArgumentProduitQuotientPuissance entière d'un nombre complexe2.2.4 Racine d'un nombre complexe2.2.5 Racines complexes dans le plan de Gauss2.3 Théorème fondamental de l'algèbre2.3.1 Rappel2.3.2 TFA2.3.3 Corollaire 1 - factorisation complète2.3.4 Corollaire 2 - racines conjuguées2.4 Fonction de la variable complexe2.4.1 Définition2.4.2 Représentation graphiqueExemple2.5 Lieux géométriques dans le plan de Gauss

2.1 Définition formelle

L'ensemble des nombres complexe est défini comme :

C = {z = a + i b ∣ (a, b) \in R^{2} et i^{2} = - 1}

On note alors

\begin{array}{lll} a = R (z) & : partie réelle de z \\ b = Im (z) & : partie imaginaire de z \end{array}

2.1.1 Plan de Gauss

nombre complexe $(a,b)$ $z=a +ib$ .

On peut alors les représenter sur un plan, appelé plan de Gauss.

$a$ $z$ $b$ $z$ $\alpha \cdot i$ $\alpha \in \R$ ).

2.1.2 Module et argument

$O(0,0)$ $z$ $OZ$ avec l'axe des réels. `

$r$ module de $z$ $\abs{z}$

$\varphi$ l'argument $z$ $\arg{(z)}$

$\abs{z}$ $\arg(z)$ on peut retrouver la partie réelle et imaginaire par les relations classiques :

\begin{matrix} \begin{aligned} R (z) & = a = | z | \cdot \cos (\arg (z)) \\ Im (z) & = b = | z | \cdot \sin (\arg (z)) \end{aligned} \end{matrix}

$\Re(z)$ $\Im(z)$ $\abs{z}$ $\arg(z)$ par :

\begin{aligned} r & = | z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ φ & = \arg (z) = {\begin{cases} \arctan (\frac{b}{a}) & si a > 0 \\ \arctan (\frac{b}{a}) + π & si a < 0 \end{cases} \end{aligned}

Dans le cas particuliernulle $z=ib$ ), on a alors :

\begin{matrix} {\begin{aligned} \frac{π}{2} & si & a = 0 & et & b > 0 \\ - \frac{π}{2} & si & a = 0 & et & b < 0 \end{aligned} \end{matrix}

2.1.3 Opérations de base sur les nombres complexes

1. Egalité

$z_1$ $z_2$ sont égaux si et seulement si leurs parties imaginaires sont égales et leurs parties réelles le sont aussi.

\begin{matrix} \begin{array}{ll} z_{1} = z_{2} \Leftrightarrow {\begin{matrix} R (z_{1}) = R (z_{2}) \\ Im (z_{1}) = Im (z_{2}) \end{matrix} \end{array} \end{matrix}

2. Somme et différence

$z_1 = a_1+ib_1$ $z_2=a_2+ib_2$ .

$z_1$ $z_2$ par :

\begin{aligned} z_{1} + z_{2} & = (a_{1} + i b_{1}) + (a_{2} + i b_{2}) = (a_{1} + a_{2}) + i (b_{1} + b_{2}) \\ z_{1} - z_{2} & = (a_{1} + i b_{1}) - (a_{2} + i b_{2}) = (a_{1} - a_{2}) + i (b_{1} - b_{2}) \end{aligned}

On voit qu'on fait la somme ou la différence des parties réelles puis imaginaires.

Dans le plan, cela revient à faire une translation :

3. Multiplication par un réel

$z_1 = a + ib$ $\alpha \in \R$ , on définit :

z_{2} = α \cdot z_{1} = α \cdot (a + i b) = α a + i α b

Dans le plan il s'agit d'une homothétie :

4. Multiplication par un complexe

$z_1 = a+ib$ $\omega = \alpha + i\beta$ $z_2 = \omega \cdot z_1$ par :

\begin{aligned} z_{2} & = ω \cdot z_{1} = (α + i β) \cdot (a + i b) \\ = α a + i α b + i β a + \underset{- 1}{\underset{⏟}{i^{2}}} \cdot β b \\ = (α a - β b) + i (α b + β a) \end{aligned}

Dans le plan de Gauss, la multiplication de deux nombres complexes consiste à :

multiplier leur modules
additionner leurs arguments

C'est-à-dire que :

\begin{matrix} z = z_{1} \cdot z_{2} \Rightarrow \begin{array}{ll} | z | = | z_{1} | \cdot | z_{2} | \\ \arg (z) = \arg (z_{1}) + \arg (z_{2}) \end{array} \end{matrix}

5. Conjugaison complexe

Soient

z_{1} = a + i b et z_{1}^{*} = a - i b

$z_1$ $z_1^*$ sont conjugués complexes l'un de l'autre.

On a alors que :

\begin{aligned} | z^{*} | = | z | \\ \arg (z^{*}) = - \arg (z) \end{aligned}

On voit que pour trouver le conjugué complexe d'un nombre, il suffit de changer le signe de sa partie imaginaire.

Dans le plan de Gauss, il s'agit d'une symétrie par rapport à l'axe des réels.

Propriétés du conjugué complexe

\begin{array}{llll} 1. & z \cdot z^{*} = {| z |}^{2} & 2. & (z^{*})^{*} = z \\ 3. & (z_{1} + z_{2})^{*} = z_{1}^{*} + z_{2}^{*} & 4. & (z_{1} \cdot z_{2})^{*} = z_{1}^{*} \cdot z_{2}^{*} \\ 5. & (z + z^{*}) = 2 \cdot R (z) & 6. & (z - z^{*}) = 2 \cdot Im (z) \\ 7. & (z^{*})^{n} = (z^{n})^{*} \end{array}

6. Quotient de deux nombres complexes

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1}}{z_{2}} \cdot \underset{= 1}{\underset{⏟}{\frac{z_{2}^{*}}{z_{2}^{*}}}} = \underset{c a r z_{2} \cdot z_{2}^{*} = {| z_{2} |}^{2}}{\underset{⏟}{\frac{1}{{| z_{2} |}^{2}}}} \cdot z_{1} \cdot z_{2}^{*}

On sait multiplier deux nombres complexes entre eux ainsi que multiplier un complexe par un réel, on est donc capable de calculer cette expression !

Conclusion : Pour diviser deux nombres complexes, il est très avantageux de multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué complexe du dénominateur.

Si deux nombres complexes sont donnés par leur module et leur argument, leur quotient est donné par le quotient des modules et la différences des arguments.

Autrement dit :

\begin{matrix} z = \frac{z_{1}}{z_{2}} \Leftrightarrow {\begin{cases} | z | = \frac{z_{1}}{z_{2}} \\ \arg z = \arg (z_{1}) - \arg (z_{2}) \end{cases} \end{matrix}

2.2 Forme polaire

$(a,b)$ $z$ $r$ $\theta$ $Oz$ $O_x$ .

Pour l'instant, on a

$z =a+ib$ : forme cartésienne
$r\cos(\theta) + ir\sin(\theta)$ : forme trigonométrique

2.2.1 Formules d'Euler et de De Moivre

Selon des résultats d'analyse, on peut poser grâce aux séries de Tylor :

\begin{aligned} e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + . . . + \frac{x^{n}}{n!} + . . . \\ \sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} \pm . . . \\ \cos (x) = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} \pm . . . \end{aligned}

On va utiliser la définition de l'exponentielle pour définir l'exponentielle complexe.

$x=i\theta$ .

Alors :

e^{i θ} = 1 + \frac{i θ}{1!} + \frac{i^{2} θ^{2}}{2!} + \frac{i^{3} θ^{3}}{3!} + \frac{i^{4} θ^{4}}{4!} + \frac{i^{5} θ^{5}}{5!} + \frac{i^{6} θ^{6}}{6!} + \frac{i^{7} θ^{7}}{7!} . . .

$i^2=-1,\quad i^3=-i, \quad i^4 = 1, \quad i^5 =i,\space ...$

Donc :

\begin{aligned} e^{i θ} & = 1 + i \frac{θ}{1!} - \frac{θ^{2}}{2!} - i \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{4}}{4!} + i \frac{θ^{5}}{5!} - \frac{θ^{6}}{6!} \pm . . . . \\ = \underset{\cos (θ)}{\underset{⏟}{(1 - \frac{θ^{2}}{2!} + \frac{θ^{4}}{4!} - \frac{θ^{6}}{6!} + \frac{θ^{8}}{8!} \pm . . .)}} + i \underset{\sin (θ)}{\underset{⏟}{(\frac{θ}{1!} - \frac{θ^{3}}{3!} + \frac{θ^{5}}{5!} - \frac{θ^{7}}{7!} \pm . . .)}} \end{aligned}

On obtient le résultat fondamental suivant :

e^{i θ} = \cos (θ) + i \sin (θ)

forme polaire $z$ :

z = r \cdot e^{i θ}

Formule de De Moivre

(\cos (θ) + i \sin (θ))^{n} = (e^{i θ})^{n} = e^{i n θ} = \cos (n θ) + i \sin (n θ)

Grâce à la formule de Moivre, on peut poser :

\begin{aligned} e^{i θ} + e^{- i θ} = 2 \cos (θ) \\ e^{i θ} - e^{- i θ} = 2 i \sin (θ) \end{aligned}

Ce qui nous permet d'écrire les fonctions trigonométriques avec des exponentielles :

\cos (α) = \frac{e^{i α} + e^{- i α}}{2} \sin (α) = \frac{e^{i α} - e^{- i α}}{2 i}

2.2.2 Nombres complexes sous forme polaire

image

\begin{array}{r} a = r \cos θ \\ b = r \sin θ \end{array}

z = a + i b = r \cos θ + i r \sin θ = r (\cos θ + i \sin θ) = r \cdot e^{i θ}

On a donc :

z = r \cdot e^{i θ}

$r=\abs{z}$ $\theta=\arg(z)$

Passage de la forme cartésienne à la forme polaire

$z = a +ib$

\begin{aligned} r & = | z | = \sqrt{z \cdot z^{*}} = \sqrt{(a + i b) (a - i b)} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ θ & = {\begin{array}{lr} \arctan (\frac{b}{a}) & si a > 0 \\ \arctan (\frac{b}{a} + π) & si a < 0 \end{array} \end{aligned}

Passage de la forme polaire à la forme cartésienne

$z=r \cdot e^{i\theta} = r \cos(\theta) + ir\sin(\theta)$

z = a + i b

avec

\begin{aligned} a & = r \cos (θ) \\ b & = r \sin (θ) \end{aligned}

2.2.3 Opérations

Egalité

\begin{matrix} r_{1} \cdot e^{i θ_{1}} = r_{2} \cdot e^{i θ_{2}} \Rightarrow {\begin{cases} r_{1} = r_{2} \\ θ_{1} = θ_{2} + k \cdot 2 π, k \in Z \end{cases} \end{matrix}

Conjugué complexe

z = r \cdot e^{i θ} \Leftrightarrow z^{*} = r \cdot e^{- i θ}

Module

| z | = | r \cdot e^{i θ} | = r

Argument

\arg (z) = \arg (r \cdot e^{i θ}) = \arg (r \cos (θ) + i r \sin (θ)) = \arctan (\frac{r \sin (θ)}{r \sin (θ)}) = \arctan (\tan (θ)) = θ

Produit

z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot e^{i θ_{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i θ_{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i (θ_{1} + θ_{2})}

Quotient

z = r \cdot e^{i θ} = \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1} \cdot e^{i θ_{1}}}{r_{2} \cdot e^{i θ_{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i (θ_{1} - θ_{2})}

Puissance entière d'un nombre complexe

$n \in \N$ $z = r \cdot e^{i\theta}$

Alors :

z^{n} = r^{n} \cdot e^{i n θ}

2.2.4 Racine d'un nombre complexe

^ième $z$ $w_k, \quad k \in \Z$ solutions de l'équation :

z = w^{n}

$z = R \cdot e^{i\theta}$ connu.

$w$ $w = r \cdot e^{i\varphi}$ .

$r$ $\varphi$ .

On remplace dans l'équation :

\begin{matrix} R \cdot e^{i θ} = r^{n} \cdot e^{i n φ} \Rightarrow {\begin{cases} r^{n} = R & \Rightarrow & r = \sqrt[n]{R} \\ n φ = θ + k \cdot 2 π & \Rightarrow & φ = \frac{θ}{n} + k \cdot \frac{2 π}{n} \end{cases} \end{matrix}

Donc

w_{k} = \sqrt[n]{R} \cdot e^{i (\frac{θ}{n} + k \cdot \frac{2 π}{n})}

$w_0$ $w_n$ :

\begin{aligned} w_{0} & = \sqrt[n]{R} \cdot e^{i \frac{θ}{n}} \\ w_{n} & = \sqrt[n]{R} \cdot e^{i (\frac{θ}{n} + 2 π)} = w_{0} \end{aligned}

On voit alors que :

\begin{aligned} w_{0} & = w_{n} \\ w_{1} & = w_{n + 1} \\ w_{2} & = w_{n + 2} \\ . . . . \end{aligned}

$\Rightarrow$ $n$ ^ième $z$ .

2.2.5 Racines complexes dans le plan de Gauss

A COMPLETER

2.3 Théorème fondamental de l'algèbre

2.3.1 Rappel

Dans l'ensemble des nombres réels, tout polynôme peut se factoriser en produits de polynômes de 1^er degré et de polynômes de 2^e degré dont le delta est négatif.

2.3.2 TFA

$a_0, a_1, \space ..., \space a_n$ des nombres complexes.

$n$ $z$

P_{n} (z) = a_{0} z^{0} + a_{1} z^{1} + a_{2} z^{2} + . . . + a_{n} z^{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k}

$n$ $P_n(z)=0$

2.3.3 Corollaire 1 - factorisation complète

$z \in \C$ $n$ toujours $n$ polynômes réels ou complexes de degré 1 :

\begin{aligned} P_{n} (z) & = a_{0} z^{0} + a_{1} z^{1} + a_{2} z^{2} + . . . + a_{n} z^{n} \\ = a_{0} (z - z_{1}) (z - z_{2}) . . . (z - z_{n}) \end{aligned}

$z_i \in \C$ $P_n(z)$ .

2.3.4 Corollaire 2 - racines conjuguées

$a_0,a_1,...,a_n \in \R$

Soit aussi le polynôme

P_{n} (z) = a_{0} z^{0} + a_{1} z^{1} + a_{2} z^{2} + . . . + a_{n} z^{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k}

$z_i$ $P_n(z)$ $z_i^*$ en est aussi une.

P_{n} (z_{i}) = 0 \Leftrightarrow P_{n} (z_{i}^{*}) = 0

$z_i \in \C$ .

2.4 Fonction de la variable complexe

2.4.1 Définition

fonction de la variable complexe $f$ $z$ $w=f(z)$ .

2.4.2 Représentation graphique

Contrairement aux fonction réelles, il n'est pas possible de dessiner le graphe d'une fonction complexe.

En effet, il faudrait une représentation en 4 dimensions !

On peut au mieux dessiner deux plans complexes : l'un représentant le domaine de départ et l'autre l'ensemble d'arrivée.

$f$ et observer les transformations géométriques qu'elle subit.

Exemple

$w=f(z)=iz$ .

\begin{aligned} z = r \exp (i φ) \\ f (z) = i z = \exp (i \frac{π}{2}) \cdot r \exp (i φ) = r \exp (i (φ + \frac{π}{2})) \end{aligned}

$\frac{\pi}{2}$ $+ \frac{\pi}{2}$ .

2.5 Lieux géométriques dans le plan de Gauss

$(O_x,O_y)$ $F(x,y)=0$ définit implicitment une courbe dans le plan :

$f(z)=0$ .

$f(z)=0$ $x=\Re(z)$ $y=\Im(z)$ $F(\Re(z),\Im(z))=0$ )

$\abs{z}$ $\arg(z)$ $f(z)=0$ $F(\abs{z},\arg(z))$ )